Učenici se već u nižim razredima osnovne škole upoznaju sa prvim geometrijskim konstrukcijama: podeliti ugao na dva jednaka ugla i duž na proizvoljan broj jednakih duži. Obe su te konstrukcije toliko jednostavne da je mnogim učenicima teško da poveruju da se ugao šestarom i lenjirom ne može nikako podeliti na tri jednaka dela: sasvim je moguće da će najtalentovaniji matematičar u razredu pokušati da dokaže da nastavnik nije bio u pravu!
Ovakvo je "dokazivanje" bilo uobičajeno i među matematičarima u ranim danima razvoja ove nauke: u petom veku pre nove ere ljudi su trošili dosta vremena pokušavajući da konstruišu tačku koja će, spojena sa temenom, deliti ugao na tri jednaka dela. U ovakvim ih je naporima podržavalo pouzdano znanje da se neki uglovi mogu podeliti na tri dela: ugao od 45 stepeni, prav ugao, ugao od 180 stepeni i mnogi drugi - postoji, u stvari, beskonačno mnogo uglova koji se lenjirom i šestarom mogu "trisecirati". Stari su Grci, međutim, pokušavali da pronađu opšti algoritam koji bi omogućio trisekciju svakog ugla i to im nije polazilo za rukom. Trisekcija ugla je tako, uz kvadraturu kruga (krug čija je površina jednaka površini datog kvadrata) i udvostručenje kocke (kocka čija će zapremina biti dva puta veća od zapremine date kocke), ostala veliki problem antičke geometrije.
Godine su prolazile a da niko nije uspeo da reši ove naoko sasvim jednostavne probleme. Matematičari su počeli da pomišljaju na to da se problem uošte ne može rešiti pa su se pojavili i prvi dokazi takve tvrdnje. Trebalo je, međutim, da prođu 22 veka da bi 1837. godine u jednom francuskom matematičkom časopisu bio objavljen prvi matematički rigurozan dokaz da se svaki ugao ne može podeliti na tri dela; tvorac ovog dokaza je P.L. Wantzel.
Matematičari su, naravno, opsežno proveravali Wantzelov rad i pronašli mu samo jednu zamerku: dokaz je, primetili su, veoma složen i teško ga je prevesti na "običan" jezik. Zato su se pojavljivali drugi, popularniji i jednostavniji dokazi sve do izvanrednog štiva iz knjige What Is Mathematics? (str. 127-138) iz pera Richarda Couranta i Herberta Robbinsa. Pre nego što pokušamo da skiciramo ovaj dokaz, razmislimo malo nad činjenicom šta on znači.
Često se polemiše o postojanju vanzemaljske inteligencije, o nadsvetlosnim brzinama, o čudovištu iz Loh Nesa, o parapsihološkim fenomenima i, uopšte, pitanjima na koja se pouzdano ne može odgovoriti. Neka od ovih pitanja su sasvim otvorena; odgovori na neka druga su, sa druge strane, dobro poznati pod imenom stav oficijalne nauke. Oficijalna nauka, na primer, tvrdi da perpetuum mobille ne postoji, da čovek ne može da lebdi iznad zemlje bez pomagala, da se snagom volje ne mogu savijati kašike, da su duhovi stvar za horor filmove i tome slično. Neko, sa druge strane, može da ima svoje mišljenje o ovim fenomenima i nekakve dokaze da oficijalna nauka nije u pravu: trenutno ne postoji apsolitan dokaz koji će nepobitno potvrditi ili opovrgnuti neku od mnogobrojnih otvorenih ili poluotvorenih dilema. Takvi se dokazi, sa druge strane, mogu u budućnosti pojaviti i uzdrmati neka naša uobičajena shvatanja: pre sto godina niko ne bi poverovao u tvrdnju da se dužina štapa koji se kreće smanjuje a danas je ta tvrdnja sasvim standardan deo fizike!
Stvar je sasvim drugačija kada kažemo da je trisekcija ugla nemoguća: to nije stav "oficijalne matematike" nego apsolutna istina koja važi oduvek i zauvek! Kada bi Zemlja postojala još onoliko milenijuma koliko je sekundi vasiona stara i kada bi ljudi svo to vreme pokušavali da reše problem trisekcije ugla, sigurno je da ga ne bi rešili! Ne bi ga rešili zato što je problem nerešiv.
Zar uopšte postoje nerešivi problemi? Naravno da postoje: pokušajte da rešite jednačinu x+1=x+2 ili da konstruišete trougao čije su stranice 1, 2 i 100 metara. Sasvim je jasno da takvo 'x' i takav trougao ne postoje; neki su problemi očigledno nerešivi dok je za dokazivanje nerešivosti drugih potrebno ispisati dosta stranica papira. Razlika je jedino u dužini dokaza.
Pa dobro, reći će ljudi koji veruju u neograničen progres, možda su matematičari nešto prevideli; geometrija je zasnovana na aksiomama koje bi mogle da budu i pogrešne. Ovakva se rečenica može podeliti na dva dela: matematočari su pogrešili i aksiome su pogrešne. Matematika je, što se prve tvrdnje tiče, sasvim egzaktna nauka, dokazi se iskazuju na formalizovan način koji ne dopušta grešku. Vredi pomenuti da, kroz dugu istoriju matematike, nije bilo dokaza koji bi bio ozbiljno proveren i prihvaćen da bi se donije pokazao pogrešnim.
Što se pogrešnosti aksioma tiče, stvar je nešto složenija. Aksiome, pre svega, ne mogu da budu pogrešne: radi se o tvrdnjama koje se postuliraju kao tačne. Moglo bi se reći da su aksiome pogrešne ako bi se pokazalo da su protivurečne što, kada se radi o geometriji, nije slučaj (dokazano je da nije slučaj). Geometrija je, dakle, ispravno izvedena iz aksioma; moglo bi se najviše pokazati da neka od aksioma nije u saglasnosti sa prirodom. To, međutim, ne može da obesnaži dokaz da je trisekcija ugla nemoguća; kada se taj problem postavla, znaju se pravila igre tj. zna se šta je lenjir a šta šestar. Da bi vam još malo objasnili šta su pravila igre, poslužićemo se malom analogijom: zamislite da vam je neko postavio šahovski problem tipa "mat u jednom potezu" i da ste se vi satima i danima trudili da ga rešite i na kraju digli ruke ubeđeni da rešenje ne postoji jer ste isprobali sve moguće poteze. Autor problema tada prilazi i pokazuje rešenje koje se sastoji u tome da dama napravi potez dva polja napred i jedno polje levo - kao skakač. Sasvim smo sigurni da bi autor problema bio gađan tablom u glavu - kada govorimo o šahu, znamo pravila igre. Slična je stvar i sa matematikom: trisekcija ugla bi mogla da se izvrši kada biste uzeli neki uređaj i rekli ovo se od sada zove šestar. Sasvim je, sa druge strane, jasno da ovakvo rešenje ne zadovoljava postavku problema.
Potrošimo, najzad, malo prostora na skicu dokaza o nemogućnosti trisekcije ugla; kompletan bi dokaz odneo previše prostora. Nacrtajte krug čiji je centar O i pretpostavite da je poluprečnik tog kruga 1. Na slici 1 je u krug ucrtan ugao od 60 stepeni kao i tačka A kojom je ugao podeljen na dva dela od 20 i 40 stepeni. Ukoliko bi, dakle, tačka A mogla da se odredi pomoću lenjira i šestara, problem trisekcije ugla od 60 stepeni bi bio rešen. Ako se tačka A ne može pronaći u skladu sa pravilima igre, postoji bar jedan ugao (60 stepeni) koji se ne može podeliti na tri dela što znači da ne postoji opšti postupak trisekcije ugla.
Prave su linije u ravni zapravo grafici linearnih funkcija dok su krugovi grafici kvadratnih; jednačina kruga, to svakako znate, glasi X**2 + Y**2 = R**2 gde dve zvezdice označavaju stepenovanje. Lenjirom i šestarom može da se izvede samo pet osnovnih operacija sa dužima i to sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje i nalaženje duži čija će dužina biti jednaka kvadratnom korenu date dužine (rigurozan a ipak razumljiv dokaz ove tvrdnje možete da nađete u pomenutoj knjizi What Is Mathematics?). Kada smo jednom odredili kvadratni koren, možemo da ponovimo ovu operaciju i da nađemo četvrti, osmi, šesnaesti i dalje korene početne dužine; ne možemo, međutim, da nađemo kubni koren jer tri nije stepen od dva. Iz ovog rezonovanja i poznavanja analitičke geometrije sledi da se mogu konstruisati samo tačke u ravni čije su koordinate rešenja određenih jednačina: to su jednačine sa racionalnim koeficijentima čiji su stepeni 2, 4, 8 i tako dalje.
Pogledajmo sada x koordinatu tačke A. Radi se o kateti pravouglog trougla čija je hipotenuza 1 a ugao 20 stepeni. Malo žongliranja sa Pitagorinom teoremom daje da je x koordinata tačke A rešenje jednačine 8x**3 - 6x = 1; radi se o jednačini trećeg stepena koja se lenjirom i šestarom ne može rešiti; problem trisekcije ugla je, dakle, nerešiv!
Zanimljiva posledica ovog dokaza je da se na tri dela mogu podeliti uglovi od 360/n stepeni gde je 'n' prirodan broj koji nije deljiv sa tri. Ne mogu se na tri dela podeliti uglovi od 360/n stepeni gde je n broj deljiv sa 3. Ugao od 3 stepena se, dakle, ne može podeliti na tri dela što znači da se lenjirom i šestarom ne može konstruisati ugao od jednog stepena! Neverovatno ali istinito.
Iako nemoguća, trisekcija ugla je veoma potrebna za rešavanje praktičnih problema pa je razvijeno mnogo metoda za približnu trisekciju ugla kao i nekoliko načina da se ova operacija izvrši uz malo varanja. Na slici 2 vidimo najjednostavniji i najčešće korišćen metod koji je predložio Hugo Steinhaus u knjizi "Mathematical Snapshots". Ugao najpre treba podeliti na dva dela, zatim povući tetivu koja pripada jednoj od polovina ugla pa tu tetivu podeliti na tri jednaka dela. "Teorijska" greška koja se na ovaj način čini je manja od greške koja nastaje pri bilo kakvoj konstrukciji usled nesavršenosti pribora pa nema potrebe zamarati se boljim aproksimacijama koje su česti gosti matematičkih časopisa.
Ako se ne zadovoljavate polovičnim rešenjima, trisekciju ugla možete da izvršite i (teorijski) tačno ali uz malo varanja. Na slici 3 vidimo ugao AED koji treba podeliti na tri jednaka dela. Najpre ćemo produžiti DE na desno i iscrtati polukrug a zatim zadržati šestar tako da njegov otvor bude jednak poluprečniku iscrtanog kruga. Uzećemo lenjir, fiksirati jednu njegovu tačku za A a onda ga kružno pomerati sve dok BC ne postane jednako AE. Tako smo dobili ugao BEF koji je tačno jednak trećini ugla AED.
Gde se ovde skrila varka? Konstrukciju smo, istina, obavili lenjirom i šestarom ali smo, prislanjajući šestar na lenjir, zapravo obeležavali neke tačke na ovom instrumentu. Obeležavanje tačaka nije nikakav problem kada se radi o pravom plastičnom lenjiru ali predstavlja nemoguću prepreku kada govorimo o "geometrijskom lenjiru", spravi koja jedino može da iscrtava prave linije. Zanimljivo je da izloženi postupak potiče od Arhimeda koji je savršeno uočio skrivenu varku i naglasio da metod ima isključivo praktični značaj.
Dovitljivi pronalazači su se potrudili da konstruišu mnogobrojne naprave koje se koriste isključivo za trisekciju ugla. Jedan takav uređaj imate i vi - to je običan sat sa kazaljkama. Leo Moser, profesor Univerziteta u Alberti (SAD), u jednom od svojih radova primećuje da će mala kazaljka opisati trećinu ugla ako veliku kazaljku prošetamo po uglu koji je četiri puta veći od osnovnog! Ukoliko više volite satove bez kazaljki, pogledajte sliku 4 na kojoj vidimo uređaj za deljenje ugla na proizvoljan broj delova koji je konstruisao londonski advokat (!) Alfred Bray Kempe.
Iako je dokaz o nemogućnosti trisekcije ugla dovoljno ubedljiv za svakoga ko se potrudi da ga razume, na svetu postoji mnogo nadrimatematičara koji su uspeli da uvere sebe da su na tragu rešenja vekovnog problema! Tipičan "trisektor ugla" je neko ko zna geometriju upravo onoliko koliko mu je potrebno da izmišlja raznorazne konstrukcije a ipak nedovoljno da bi razumeo korektne dokaze. Njegove su trisekcije obično toliko komplikovane a njihov dokaz ima toliko tačaka da se u njega teško može upustiti bilo ko osim autora - čak će i odličan matematičar morati da utroši mnogo vremena da bi pronašao grešku! Obzirom da takav matematičar zna da greška sigurno postoji (jer je trisekcija ugla nemoguća), on će vrlo retko trošiti vreme na njeno pronalaženje pa će materijal jednostavno vratiti samozvanom kolegi. Ovo će skoro obavezno dovesti trisektaša ugla do uverenja da su profesionalci organizovani u neko udruženje koje sprečava da njegovo genijalno otkriće stigne do javnosti... ovakva razmišljanja često vode u šizofreniju.
Buka oko nerešivih problema bi bila mnogo tiša da nije novinara. Trisekcija ugla je za njih idealna tema: uobraženi naučnici vekovima tvrde da je nešto nemoguće a "naš čovek" to rešio! Objavljuju se dugi tekstovi puni hlavospeva, razvija se polemika, štampaju se samostalna izdanja (bolje reći pamfleti) u kojima je postupak izložen, matematičari se "pozivaju na odgovornost"... Stvar se, najzad, smiri i utihne kada nekom profesionalcu prekipe tvrdnje i kada ozbiljno razmotri predloženi metod: greška se uvek nađe ali novine to ne objave; jednostavno dignu ruke od teme. Tema, na žalost, umire samo privremeno, do nekog novog "dokaza".
Poslednji trisektaš ugla koji je privukao pažnju svetske javnosti je velečasni Jeremiah Joseph Callahan koji je 1931. rešio antički problem o čemu je veoma ugledni Times opsežno pisao objavljujući fotografiju "genija sa svojim delom" dok je takođe ugledni United Press telegrafski emitovao veoma dugačku priču iz pera samog Kalahana. Velečasnom Kalahanu nije bila dovoljna jedna senzacija godišnje: krajem 1931 objavljuje knjigu Euclid or Einstein u kojoj na 310 strana "dokazuje" čuveni Euklidov peti postulat (o njemu uskoro) i tako "pokazuje" besmislenost geometrije Lobačevskog "ukidajući" samim tim opštu teoriju relativnosti! Reporteri su sledećih meseci oštrili pera kritikujući matematičare koji "jedu pare poreskih obveznika" a ipak dopuštaju sebi da tvrde da su dokazi velečasnog Kalahana pogrešni čak i pre nego što su ih videli! Buka je posle toga prestala; Kalahan se pominje još samo u knjizi sa sugestivnim naslovom Monkey Business ("Majmunska posla"). Autor ove knjige Irving Adler je proučio dokaz i ustanovio da Kalahan ustvari nije izvršio trisekciju ugla - on je, kada se sve sabere i oduzme, uzeo ugao, utrostručio ga a onda ponovo "pronašao" početni ugao!
Daniel Inouye, predstavnik države Havaji u Kongresu SAD i (docnije) član komisije koja je ispitivala aferu Votergejt ponovo skreće pažnju svetske javnosti na trisekciju ugla 3. juna 1960. Kongresmen, naime, odaje počast Maurice Kidjelu, slikaru iz Honolulua kome trisekcija ugla nije bila dovoljna: ovaj je poštovani građanin Sjedinjenih Država uspeo da izvrši kvadraturu kruga kao i udvostručenje kocke a zatim čitavu majstoriju opisao u knjizi The Two Hours that Shook the Mathematical World ("Dva sata koja su zatresla matematički svet"). Knjiga je docnije opisana kao "neverovatna zbirka gluposti jednog šizofreničara" dok je trag govora gospodina Inouya ostao zapisan kao jedna od većih gluposti izrečenih sa zvanične govornice.
Šta danas može da se kaže trisektoru ugla? Pokušajte da ga nagovorite da pročita knjigu What is Mathematics? i da se uveri u tačnost nepobitnih činjenica. Možete da mu kažete da postoje problemi koji su apsolutno nerešivi u svim okolnostima i u svim vremenima. Možete da ga nagovorite da svoj pronalazak "propusti" kroz oficijalni dokaz i pronađe neslaganje: ako je oficijelni dokaz dobar onda njegov metod ne valja i obratno! Svi će ovi pokušaji, na žalost, retko uroditi plodom - nije lako ubediti nekoga da je posao kojim se možda bavio godinama čista besmislica! Pre nego što se u sledećem nastavku osvrnemo na neke druge nerešive probleme i savremene "pronalaske" kao što je tzv. Makedonski algoritam, citiraćemo Augusta De Morgana koji, u knjizi Budget of Paradoxes opisuje rad jednog trisektora ugla iz devetnaestog veka koji je, u predgovoru svog "životnog dela", napisao da su "sledeće stranice plod mnogih godina intenzivnog rada i razmišljanja". De Morgan kaže samo very likely and very sad - vrlo verovatno i vrlo žalosno!
Kada smo u "Galaksiji 173" (septembar 1986.) započeli malu seriju od tri napisa posvećena nerešivim matematičkim problemima, želeli smo pre svega da opišemo zanimljive istorijske dogodovštine i da ukažemo na ogroman (ali i sasvim uzaludan) trud koji su savremeni nadri-matematičari uložili u rešavanje dokazano nerešivih problema - verovali smo da ćemo argumentima navesti (na sreću retke) trisektore ugla da se ostave ćoravog posla i zabave zanimljivijim i prosperitetnijim stvarima. Moramo da kažemo da smo pri tome teško pogrešili - umesto demobilizacije, regrutovali smo čitavu četu novih snaga koje su začas rešile kako trisekciju ugla tako i kvadraturu kruga i udvostručenje kocke! Da bi stvar bila još lepša, "Galaksija" je stekla reputaciju časopisa koji se interesuje za trisekciju ugla pa je kopija svakog pamfleta ovoga tipa upućivana i na našu adresu. Autor serije tekstova je, prirodno, stekao reputaciju osobe koja se strašno interesuje za ove probleme ali koja živi u nesrećnoj zabludi da su oni nerešivi - tu zabludu, jasno, treba što pre okončati.
Tako smo u toku poslednjih meseci 1986. dobili tridesetak pisama u kojima je veoma detaljno opisano rešavanje raznih problema koji su vekovima mučili matematičare; kopije pisama su obavezno poslate i svim našim akademijama nauka, fakultetima, institutima... Obzirom da nam je dobro poznato da je problem trisekcije ugla dokazano nerešiv tj. da neće biti rešen u toku čitave blistave budućnosti čovečanstva, uzeli smo slobodu da ova pisma prosledimo u koš; na isti način su postupile i sve akademije kao i bilo koja renomirana ustanova koja se bavi matematikom.
Na redu je drugi krug trisekcije ugla: neshvaćeni geniji se žale glavnom uredniku "Galaksije", zatim će se žaliti direktoru BIGZ-a pa će žalba za par godina, korak po korak, valjda stići i do Generalnog sekretara Ujedinjenih Nacija. Pošto ne želimo da Generalnog sekretara UN (koji, na žalost ovog našeg sveta, svakako ima i previše veoma ozbiljnih briga) opterećujemo rezultatima naše gluposti, odlučili smo da u ovoj "Galaksiji" poslednji put posvetimo nekoliko redova ovoj temi.
Sva pisma takozvanih trisektora ugla koja smo primili se, umesto matematikom, bave nadri-filozofijom koja treba da pokaže da su svi problemi rešivi. Pri tom se dokaz korektnosti geometrijskih konstrukcija zasniva otprilike na ovakvim argumentima: svemir je smislenost apsoluta tačnosti koja se samooslobađanjem vlastitog energetskog naboja transformiše u svest apsoluta - budući smisao izvan misli - budući večnost ili pravac smisla je krug i svest se treba samovideti od večnosti ka vremenu, od beskonačnog ka konačnom ili nerešiv problem je apsurd filozofskog smisla i kao takav ne može da postoji u prostoru a samim tim ni u vremenu pa je trisekcija ugla moguća i, kao i smisao čoveka i svemira, sasvim jednostavna ako se otkrije skriveni cilj koji do nje vodi; da ne navodimo dalje. Svaki (bez izuzetka) prilog ovoga tipa se završava "pretnjom" da će, ukoliko "Galaksija" pozitivno ne reaguje, pismo sa genijalnim otkrićem biti prosleđeno na neku stranu adresu pa će Jugoslavija ostati bez pronalaska koji bi je proslavio u celom svetu rešivši uzgredi i sitan problemčić zvani 20 milijardi dolara duga.
Naš odgovor svim trisektorim ugla je da sasvim slobodno pošalju svoja dela u inostranstvo - to je odliv "pameti" koga se ne bojimo. Sasvim je svejedno da li ćete se odlučiti za Sjedinjene Države, za Sovjetski Savez, za Kinu, Indiju ili neku drugu državu: tvrdimo da će svaki matematički časopis, svaka iole renomirana matematička ustanova ili svaki školovani matematičar prilog ovoga tipa baciti ili, ukoliko mu nije žao marki, vratiti pošiljaocu. Ako želite da trošite vreme i novac proveravajući ovu našu tvrdnju, samo izvolite - problemi trisekcije ugla, kvadrature kruga i udvostručenja kocke su nerešivi i takvi će zauvek ostati!
Pre nego što počnete da izvozite besmislice, pružite nam još jednu šansu i pročitajte ovaj pasus. Ako je jedini argument koji potvrđuje tačnost vaše teorije ubeđenje da ne postoje nerešivi problemi, uzmite list hartije i pokušajte da nacrtate ravan nedegenerisan trougao čije su stranice 2, 3 i 10 centimetara. Ako ne uspete (a svako dete zna da nećete uspeti!) nerešivi problemi postoje; zašto onda ne biste dopustili mogućnost da je problem trisekcije ugla nerešiv? Sledeći korak je konsultacija knjige What is Mathematics (pogledajte "Galaksiju 173") u kojoj su Richard Courante i Herbert Robbins dokazali da je problem trisekcije ugla nerešiv - propustite vašu konstrukciju i vaš "smisao svemira" kroz ovaj dokaz i uverite se da ste pogrešili. Ukoliko ne možete da se uverite, želimo vam svaku sreću i uspeh ali vas molimo da nam se ponovo ne obraćate.